Конспект по элементам теории функционального анализа

Метрические пространства
Опр. Метрическим пространством называется пара $$(X, \rho)$$, состоящая из некоторого множества (пространства) $$X$$ элементов (точек) и расстояния, т.е. однозначной, неотрицательной, действительной функции $$\rho(x,y),$$ определённой $$~\forall x,y\in X$$ и подчинённой трём аксиомам:
 * 1) $$\rho(x,y) = 0$$ тогда и только тогда, когда $$x=y$$,
 * 2) $$\rho(x,y) = \rho(y,x)$$ (аксиома симметрии),
 * 3) $$\rho(x,z) \le \rho(x,y) + \rho(y,z)$$ (аксиома треугольника).

Введём обозначение:
 * $$R = (X, \rho)$$.

Сепарабельные пространства
Опр. Точка $$x\in R$$ называется точкой прикосновения множества $$M\subset R$$, если любая её окрестность содержит хотя бы одну точку из $$M$$.

Опр. Совокупность всех точек замыкания множества $$M$$ обозначается $$[M]$$ и называется замыканием данного множества.

Опр. Множество $$A$$ называется всюду плотным (в пространстве $$R$$), если его замыкание $$[A]$$ совпадает со всем пространством $$R$$.

Опр. Пространство, в котором имеется счётное всюду плотное множество, называется сепарабельным.

Полные пространства
Опр. Последовательность $$\{x_n\}$$точек метрического пространства $$R$$ будем называть фундаментальной, если она удовлетворяет условию Коши:
 * $$\forall \varepsilon > 0~\exist N_{\varepsilon}:~\rho(x_{n'}, x_{n})<\varepsilon,~\forall n'>N_{\varepsilon},~n>N_{\varepsilon}.$$

Опр. Если в пространстве любая фундаментальная последовательность сходится, то это пространство называется полным.

Евклидово пространство
Опр. Скалярным произведением в действительном линейном пространстве $$R$$ называется действительная функция $$(x, y)$$, определённая $$~\forall x,y\in X$$ и удовлетворяющая следующим условиям:
 * 1) $$(x, y) = (y, x)$$,
 * 2) $$(x_1 + x_2, y) = (x_1, y) + (x_2, y)$$,
 * 3) $$(\lambda x, y) = \lambda(x, y)$$,
 * 4) $$(x, x) \ge 0$$, причём $$(x, x)=0$$ только при $$x=0$$.

Опр. Линейное пространство с фиксированным в нём скалярным произведением называется евклидовым пространством. В евклидовым пространстве $$R$$ вводится норма с помощью формулы
 * $$\|x\|=\sqrt{(x, x)}$$.

При этом справедливо уравнение Коши-Буняковского
 * $$|(x, y)|\le \|x\|\cdot\|y\|$$.

Доказательство: Пусть $$z = \lambda x + y$$, тогда
 * $$\|z\|^2 = (\lambda x + y, \lambda x + y) = \lambda^2(x, x) + 2\lambda(x,y) + (y, y) = $$
 * $$=\lambda^2\|x\|^2 + 2\lambda(x,y) + \|y\|^2$$,

но так как $$\|z\|\ge 0$$ по определению нормы, то дискриминант меньше или равен нулю:
 * $$4(x, y) ^ 2 - 4\|x\|^2\|y\|^2\le 0 \Rightarrow |(x, y)|\le \|x\|\cdot\|y\|$$

Гильбертово пространство
Опр. Полное евклидово пространство бесконечного числа измерений называется гильбертовым пространством.